1. Einleitung
2. Wahrscheinlichkeitsräume ( \( \Omega , \mathbb{F}, \mathbf{P} \) )
- Ein Wharscheinlichkeitsraum (\( \Omega, \mathbb{F}, \mathbf{P} \)) besteht aus
Ergebnismenge \( \Omega = \{ {\omega}_1, {\omega}_2 , ... \} \) : Menge aller möglichen Ergebnisse \( {\omega}_i \) /모든 가능한 결과의 집합 - Ereignisalgebra \( \mathbb{F} = \{ A_1, A_2, ... \} \) : Menge von Ereignisen \( A_i \subseteq \Omega \) \사건의 집합.
- Wahrscheinlichekeitsmaß \( \mathbf{P} \)
* Unterschiede zw. Ergebnis und Ereignis
- Ergebnis : Ergebnis eines Experiments /실험,시도에 대한 결과
- Ereignis : Menge, die sich aus bestimmten Einzelergebnissen zusammensetzt /특정 독립 결과들의 모임
Beispiel : Würfeln mit \( \Omega = \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6\} \)
Eine 2 wird gewürfelt. / Ergebnis
eine Zahl kleiner 4 wird gewürfelt / Ereignis
2.1 Eregnisalgebra \( \mathbb{F} \subseteq \mathbf{P}(\Omega) \) : \( \mathbf{P} \) Potenzmenge
- \( \Omega \in \mathbb{F} \) : sicheres Ereignis ist in \(\mathbb{F} \) enthalten. :모든 사건은 Ereignisalgebra에 포함된다.
- \( A_i \in \mathbb{F} \Rightarrow A^{\mathbf{C}}_{i} \) :어떤 사건이 Ereignisalgebra에 포함되면 그 사건의 차집합도 포함된다.
- \( A_1, ... , A_k \in \mathbb{F} \Rightarrow {\bigcup}_{i{\geq}1}^k A_i \in \mathbb{F} \) :모든 사건들의 합집합도 Ereignisalgebra에 포함된다.
Daraus folgt:
- \(\emptyset \in \mathbb{F}\) : 집합의 특성, 자명하다
- \( A_i \setminus A_j \in \mathbb{F} \) : 사건의 차집합도 Ereignisalgebra에 포함된다.
- \( {\bigcap}^{k}_{i=1} \in \mathbb{F}\) : 사건들의 여집합도 Ereignisalgebra에 포함된다.
- \( \left\vert \mathbb{F} \right\vert = 2^{Anzahl disjunkter Teilmengen}\) : Ereignisalgebra의 갯수는 2의 n제곱 이다.
2.1.1. \( \sigma\)-Algebra
Entwicklung \( k \rightarrow \infty\). Unendlich viele Ergebnisse, aber jedes \( A_i \) besteht aus abzählbar viele Eregbnissen, Besityt mindestesns 2 Ereignisse.
Beispiel
2.2 Wahrscheinlichkeitsmaß \(\mathbf{P}\)
\( \mathbf{P}\) ordnet jeden Eregnis \(A \in \mathbb{F} \) eine Wahrscheinlichkeit \(\mathbf{P}(A) \in [0, 1] \)
\( \mathbf{P}(A) = \cfrac{|A|}{|{\Omega}|} \)
\( \mathbf{P}(A \cup B) = \mathbf{P}(A) + \mathbf{P}(B) - \mathbf{P}(A \cap B) \)
2.2.1. Axiome von Kolmogorow
Nichtnegativität : \(\mathbf{P} \geq 0 \Rightarrow \mathbf{P} : \mathbb{F} \mapsto [0,1] \)
Normiertheit : \( \mathbf{P}(\Omega) = 1 \)
Additivität : \( \mathbf{P} \left( {\bigcup}^{\infty}_{i=1} A_i \right) = \sum_{i=1}^{\infty} \mathbf{P}(A_i) \), wenn \( A_i \cap A_j = \emptyset, \forall i \neq j \)
2.2.2 Weitere Eigenschaften
\( \mathbf{P}(A^c) = 1 - \mathbf{P}(A)\)
\( \mathbf{P}(\emptyset) = 0 \) , \( \mathbf{P} = 1\)
\( \mathbf{P}(A \cap B) = \mathbf{P}(A) + \mathbf{P}(B) - \mathbf{P}(A \cap B) \)
\( \mathbf{P}(A \cup B) = \mathbf{P}(A) + \mathbf{P}(B) - \mathbf{P}(A \cup B) \)
\( A \subset B \Rightarrow \mathbf{P}(A) \leq \mathbf{P}(B) \)
\( \mathbf{P} \left( {\bigcap}^{k}_{i=1} A_i \right) \leq \sum^{k} _{i=1}\mathbf{P}(A_i) \)
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