5.1 Mehrdimensionale Verteilungen : 다차원 확률변수
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5.1.1. Mehrdimensionale Zufallsvarible:
\(\vec{X} = [X_1, X_2, ... , X_n]^T \) mit \( \mathbf{X_i} \) Zufallsvariablen
5.1.2. Gemeinsame kumulative Verteilungsfunktion: = Verbund-KVF
$$ ( F_{X_1, ... , X_n}(x_1, x_2, ... ,x_n) $$
$$ = F_{\vec{X}}(\vec{x}) = \mathbf{P}(\{ \vec{X} \leq \vec{x} \}) $$
\( \rightsquigarrow \) Eigenschaften wie für eindimensional KVF
$$ \mathbf{P}(\{ X_1 \leq x_1, X_2 \leq x_2, ... , X_n \leq x_n \}) $$
5.1.3. Diskrete Zufallsvariablen: Joint Probability Mass Function
$$ p_{X_1, ..., X_n}(x_1, ... ,x_n) = \mathbf{P}(\{ \vec{X} = \vec{x} \}) $$
5.1.4. Stetige Zufallsvariablen: Joint Probability Density Function
$$ F_{X_1, ..., X_n}(x_1, ... x_n) = \int_{-\infty}^{x_1} ... \int_{-\infty}^{x} f_{X_1, ... ,X_n}(\xi_1, ..., \xi_n) d \xi_n ... d \xi_1 $$
$$ f_{X_1, ..., X_n}(x_1, ..., x_n) = \cfrac{{\partial}^n F_{\vec{X}} (x_1, ..., x_n) }{{\partial}_{x_1} {\partial}_{x_2} ... {\partial}_{x_n}} $$
$$ f_{X,Y} = f_{Y,X}$$
5.1.5. Marginalisierung : 주변확률분포
prinzipL Lasse alle vernachlässigbaren ZufallsVerteilung gegen unendlich gehen.
$$ F_{X_1, ... , X_m}(x_1, ... ,x_m) = F_{X_1, ..., X_n}(x_1, ..., x_m, \infty , ... , \infty ) $$
Randverteilung:
Spezialfall der Marginaliserung um aus der mehrdimensional KVF die KVF für eine ZV zu erhalten.
$$ F_{X_1}(x_1) = F_{X_1, ..., X_n}(x_1, ..., x_n) $$
Randverteilung der Wahrscheinlichekeitsmasse für diskrete ZV : PMF
$$ p_{X_1}(x_1) = \sum_{x_2,....,x_n} p_{X_1, ..., X_n} (x_1, ..., x_n) $$
Randverteilung der Wahrscheinlichekeitsdichte für stetige ZV : WDF
$$ f_{X_1}(x_1) = \int_{-\infty}^{\infty} ... \int_{-\infty}^{\infty} f_{X_1, ..., X_n}(x_1, ... , x_n) dx_n, ...., dx_2 $$
4.2 Unabhängigkeit von Zufallsvariablen
Zufallsvariablen \( X_1, ... X_n \) sind stochastisch unabhängig, wenn für jedes \(\vec{x} = [x_1, ..., x_n]^T \in \mathbb{R^n} \) gilt:
$$ \mathbf{P}(\{ X_1 \leq x_1, ... , X_n \leq x_n \}) = \prod_{i=1}^{n} \mathbf{P}(\{ X_i \leq x_i \}) $$
Gleichbedeutend:
$$ F_{X_1}, ...., F_{X_n}(x_1, ..., x_n) = \prod_{i=1}^{n} F_{X_i}(x_i) $$
$$ p_{X_1}, ...., p_{X_n}(x_1, ..., x_n) = \prod_{i=1}^{n} p_{X_i}(x_i) $$
$$ f_{X_1}, ...., f_{X_n}(x_1, ..., x_n) = \prod_{i=1}^{n} f_{X_i}(x_i) $$
4.3 Bedingte Zufallsvariablen
Bedingte Wahrscheinlichkeit für Zufallsvariablen:
Ereignis A gegeben:
$$ F_X | _A(x|A) = \mathbf{P}(\{ X \leq x \} | A) $$
Zufallsvariablen Y gegeben:
$$ F_X | Y (x|y) = \mathbf{P}(\{ X \leq x \}|\{Y = y\}) $$
$$ p_X | Y (x|y) = \cfrac{p_{X,Y}(x,y)}{p_Y(y)} $$
$$ f_X | Y (x|y) = \cfrac{f_{X,Y}(x,y)}{f_Y(y)} = \cfrac{d F_{X|Y}(x|y)}{dx} $$
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