6. Funktionen von Zufallsvariablen
\( X : \Omega \rightarrow \Omega' \) und jetzt \(g : \Omega' \rightarrow \Omega'' = \mathbb{R} \)
$$ \mathbf{P}(A'') = \mathbf{P}(Y \in A'') = \mathbf{P}(\{ X \in \Omega' | g(X) \in A'' \}) = \mathbf{P}(\{ \omega \in \Omega | g(X(\omega)) \in A'' \})$$
\( \Rightarrow Y : \Omega \rightarrow \Omega' , Y = g(X) \)
Der Zusammenhang zwischen den Zufallsvariablen X und Y über \( Y = g(X) \) bedeutet NICHT, dass ein ähnlicher Zusammenhang für KVF oder WDF gilt.
6.1. Transformation von Zufallsvariablen
Berechnung von \( f_Y(y) = f_X(x) \)
\( g(x) \) streng monoton & differenzierbar: das heißt: Es gibt \( g^{-1}(y)\) Umkehrfunktion :
$$ f_Y(y) = f_X(g^{-1}(y) \begin{bmatrix} {\begin{vmatrix} \cfrac{d g(x)}{dx} \end{vmatrix} }_{x=g^{-1}{y}} \end{bmatrix}^{-1}) $$
\( g(x) \) nur differenzierbar: das heißt: \( g(x) \) ohne konstante Abschinitte
$$ f_Y(y) = \sum_{i=1}^N f_X(x_i) \begin{bmatrix} {\begin{vmatrix} \cfrac{d g(x)}{dx} \end{vmatrix} }_{x=x_i} \end{bmatrix}^{-1}) $$
, \( x_i \) sind Nullstellen von \( y - g(x) = 0 \)
6.1.1. Beispiel: Lineare Funktion
6.2 Summer unabhängiger Zufallsvariablen
Faltung!
\( Z = X + Y \) mit \( X\) und \( Y \) unabhängig
$$ \Rightarrow f_{Z=X+Y}(z) = (f_X * f_Y )(z) = \int^{\infty}_{-\infty} f_X(z-y) f_Y dy $$
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