Organization
1. Reele Zufallsfolgen
2. Random Walk
3. Stationarität
11. Reelle Zufallsfolgen
Folge von reellen Zufallsvariablen : \( X_n : \Omega \rightarrow \mathbb{R} , \quad n \in \mathbb{N} \)
Zwei Repräsentation:
Ensemble : für jedes \( n \in \mathbb{N}\) ist \(X_n\) eine Zufallsvariablen. Zufallsfolge kann alas Ensemble einer abzählbaren Menge von Zufallsvariablen interpretiert werden.
Pfad : für jedes \( \omega \in \Omega \) ist \(X(\omega)\) eine deterministische (ganz normale) Folge über \(n\). Realisierung einer Zufallsfolge wird bezeichnet als Musterfolge \( X(\omega) : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N} , \ n \rightarrow X_n(\omega)\) Zufallsfolge kann als Schar von Musterfolgen interpretiert werden.
11.1 Verteilung und Momente
\( \rightarrow\) Eindeutige Beschreibung von Zufallsfolgen mittels Verteilungen ist schwierig, Charakteristierung erfolgt durch.
| Erwartungswertfolge | $$ \mu_X(n) = E[X_n] $$ |
| Varianzfolge | $$ \sigma^2_X(n) = Var[X_n] = E[X^2_n] - E[X_n]^2 = c_X(n, n) $$ |
| Autokorrelation | $$ r_X(k, l) = E[X_k \ X_l] $$ |
| Autokovarianz | $$ c_X(k, l) = Cov[X_k, X_l] = r_X(k, l) - \mu_X(k) \mu_X(l) $$ |
11.2 Random Walk
\( n \in \mathbb{N} \) Schritte mit 2 möglichen Bewegungsrichtungen \( X \in \{ +\delta, -\delta \} \)
$$ S_n = \sum^n_{i = 1} \ X_i $$
\( \rightarrow \mathbf{P}( \{ X_i = + \delta \}) = p \)
\( \rightarrow \mathbf{P}( \{ X_i = - \delta \}) = 1 - p \)
symmetrisch \( \Leftrightarrow p = \cfrac{1}{2}, \ \mu_S(n) = 0 \)
| $$ E[S] = \mu_S(n) = n(2p - 1)\delta $$ | $$ E[X_i] = (2p - 1)\delta $$ |
| $$ Var[S] = \sigma^2_S(n) = 4np(1 - p)\delta^2 $$ | $$ Var[X_i] = 4p(1 - p)\delta^2 $$ |
Verteilung von \( X_i \) ähnlich einer Bernoulli-Verteilung, bei der statt {0, 1} die Werte { \(-\delta, \delta \)} angenommen werden.
11.3 Stationarität
Eine Zufallsfolge ist stationär, wenn um ein belibiges \( k (k \in \mathbb{N})\) zueinander verschonobene Zufallsvektoren die selbe Verteilung besitzen.
Im weiteren Sinne stationär (W.S.S), wenn
$$ \mu_X(i) = \mu_X(i + k) $$
$$ r_X(i_1, i_2) = r_X(i_1 + k, i_2 + k) = r_X(i_1 - i_2) $$
(verschiebungsinvariant)
stationär \( \Rightarrow \) WSS
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