Organization
1. Ensemble und Musterfunktion
2. Wiener-Prozess
3. Poisson-Prozess
4.Stationarität
13. Reelle Zufallsprozesse
13.1. Ensemble und Musterfunktion
- Ein Zufallsprozess kann als Ensemble einer nicht abzählbaren Menge von Zufallsvariablen \( X_t \mbox{ mit } t \in \mathbb{R} \) interpretiert werden.
- Ein Zufallsprozess kann als Schar von Musterfunktionen \( X_t(\omega) \ : \ \mathbb{R} \mapsto \mathbb{R} , \mbox{ mit } X(\omega) \) als deterministische Funktion von \(t\), mit einem gegebenen Ereignis \( \omega \in \Omega \) interpretiert werden.
\( \rightarrow \) Weitere Interpretation : Zufallsprozess X ist eine Funktion \( X : \mathbb{R} \times \Omega \mapsto \mathbb{R} , \quad t, \omega \rightarrow X_t(\omega) \)
13.2 Verteilungen und Momente
Zeitlich, Kontinuierlich veränderliche Zufallsvariable \(X_t \)
Erwartungswertfunktion
$$ \mu_X(t) = E[X_t] $$
Autokorrelationsfunktion
$$ r_X(s, t) = E[X_s \ X_t] $$
Autokovarianzfunktion
$$ c_X(s, t) = Cov(X_s , X_t) = r_X(s, t) - \mu_X(s) \mu_X(t) $$
Bei Integration über \(r_X \) immer darauf achten, dass \( s - t > 0\). Bei Bedarf Integral aufteilen und Grenzen anpassen.
13.5 Wiener-Prozess (\( \sigma > 0\))
Als Basis benutzen wir den Random Walk. Durch Multiplikation mit einer Heaviside-Funktion wird der Random Walk zeitkontinuierlich
\( \mbox{Für } n \rightarrow \infty \mbox{ und } T \rightarrow 0 , \mbox{ mit Schrittweite } \delta = \sqrt{\sigma^2 T} \mbox{folg der Wiener Prozess: } W_t \)
$$ S_n = \sum^n_{i = 1} X_i \qquad \Rightarrow \qquad S_t = \sum^n_{i = 1} X_i u(t - iT) \quad T >0 $$
$$ f_{W_t}(\omega) = \cfrac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^2 t}}\ exp \begin{pmatrix} - \cfrac{\omega^2}{2 \sigma^2 t} \end{pmatrix} $$
Eigenschaften :
- Kein Zählprozess
- \( \mathbf{P}(\{ W_0 = 0 \}) = 1 \)
- hat unabhängige Inkremente \( \rightarrow r_{xy}(s, t) = 0 \)
bedeutet: für \( 0 \leq t_1 \leq t_2 \leq t_3 \leq t_4 \) ist das Inkrement \(W_{t_2} - W_{t_1} \) stochastische unabhängig vom Inkrement \( W_{t_4} - W_{t_3} \)
- \( W_t \sim \mathcal{N}(0, \sigma^2 t), \forall 0 \leq t \)
- \( W_t - W_s \sim \mathcal{N}(0, \sigma^2 (t - s)) , \forall 0 \leq s \leq t \)
- \( W_t(\omega) \) ist eine stetige Musterfunktion mit Wahrscheinlichekeit 1
| Erwartungswertfunktion | $$ \mu_W(t) = 0 $$ |
| Varianz | $$ \sigma^2_W(t) = \sigma^2 t $$ |
| Autokorrelationsfunktion | $$ r_W(s, t) = \sigma^2 min\{ s, t \} $$ |
| Autovarianzfunktion | $$ c_W(s, t) = \sigma^2 min\{ s, t \} $$ |
13.6 Poisson-Prozess ( \( N_t : t \in \mathbb{R}_+ \) )
Der Poisson-Prozess ist ein Zählprozess, bei dem der Zeitpunkt der Sprünge durch ZV modelliert wird, nicht die amplitude.
$$ \mathbf{N}_t = \sum_{i = 1}^{\infty} \ u(t - T_i) \mbox{ , } T_i = \sum_{j = 1}^{i} \mathbf{X}_j $$
Es ist ein Zählprozess, D.h. \(\mathbf{N_t}\) ist monoton stetig steigend.
Ein Poisson-Prozess kann von zwei unabhängige Poisson Prozess gebildet werden, Denn ist die Zeitintervalle zwischen den Inkrementierungen mit Parameter. z.B \( ( A_t : t \in \mathbf{R_+} ) \mbox{ with } ( B_s : s \in \mathbf{R_+}) \)
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